Transformasi Laplace vs Fourier
Transformasi Laplace dan Transformasi Fourier adalah transformasi integral, yang paling sering digunakan sebagai metode matematika untuk menyelesaikan sistem fisik yang dimodelkan secara matematis. Prosesnya sederhana. Model matematika yang kompleks diubah menjadi model yang lebih sederhana dan dapat dipecahkan menggunakan transformasi integral. Setelah model yang lebih sederhana diselesaikan, transformasi integral terbalik diterapkan, yang akan memberikan solusi untuk model aslinya.
Misalnya, karena sebagian besar sistem fisis menghasilkan persamaan diferensial, sistem tersebut dapat diubah menjadi persamaan aljabar atau ke persamaan diferensial tingkat rendah yang mudah diselesaikan menggunakan transformasi integral. Maka pemecahan masalah akan menjadi lebih mudah.
Apakah transformasi Laplace itu?
Diberikan fungsi f (t) dari variabel real t, Transformasi Laplacenya didefinisikan oleh integral [lateks] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/lateks] (bila ada), yang merupakan fungsi dari variabel kompleks s. Biasanya dilambangkan dengan L { f (t)}. Transformasi Laplace terbalik dari fungsi F (s) diambil sebagai fungsi f (t) sedemikian rupa sehingga L { f (t)}=F (s), dan dalam notasi matematika biasa kita tulis, L-1{ F (s)}=f (t). Transformasi terbalik dapat dibuat unik jika fungsi nol tidak diizinkan. Kita dapat mengidentifikasi keduanya sebagai operator linier yang didefinisikan dalam ruang fungsi, dan juga mudah untuk melihat bahwa, L -1{ L { f (t)}}=f (t), jika fungsi null tidak diperbolehkan.
Tabel berikut mencantumkan transformasi Laplace dari beberapa fungsi yang paling umum.
Apa itu Transformasi Fourier?
Diberikan fungsi f (t) dari variabel nyata t, transformasi Laplacenya didefinisikan oleh integral [lateks] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (bila ada), dan biasanya dilambangkan dengan F { f (t)}. Transformasi terbalik F -1{ F (α)} diberikan oleh integral [lateks] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. Transformasi Fourier juga linier, dan dapat dianggap sebagai operator yang didefinisikan dalam ruang fungsi.
Dengan menggunakan Transformasi Fourier, fungsi aslinya dapat ditulis sebagai berikut asalkan fungsi tersebut hanya memiliki jumlah diskontinuitas yang terbatas dan benar-benar dapat diintegralkan.
Apa perbedaan antara Laplace dan Transformasi Fourier?
- Transformasi empat tingkat dari suatu fungsi f (t) didefinisikan sebagai [lateks] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], sedangkan transformasi laplacenya didefinisikan sebagai [lateks] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/lateks].
- Transformasi Fourier didefinisikan hanya untuk fungsi yang didefinisikan untuk semua bilangan real, sedangkan Transformasi Laplace tidak memerlukan fungsi untuk didefinisikan pada himpunan bilangan real negatif.
- Transformasi Fourier adalah kasus khusus dari transformasi Laplace. Dapat dilihat bahwa keduanya bertepatan untuk bilangan real non-negatif. (yaitu mengambil s di Laplace menjadi iα + di mana dan nyata sehingga e β=1/ (2ᴫ))
- Setiap fungsi yang memiliki transformasi Fourier akan memiliki transformasi Laplace tetapi tidak sebaliknya.
