Perbedaan Deret Daya dan Deret Taylor

2024 Pengarang: Alex Aldridge | [email protected]. Terakhir diubah: 2023-12-17 13:42

Deret Daya vs Seri Taylor

Dalam matematika, barisan real adalah barisan bilangan real yang berurutan. Secara formal, itu adalah fungsi dari himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan real. Jika a_n adalah suku ke-n^th dari suatu barisan, kami menyatakan barisan tersebut dengan atau dengan ₁, a ₂, …, a_n, …. Misalnya, perhatikan barisan 1,,, …, ¹ / _{n, …. Itu dapat dilambangkan sebagai {1/n}.}

Deret dapat didefinisikan dengan menggunakan barisan. Deret adalah jumlah dari suku-suku suatu barisan. Oleh karena itu, untuk setiap urutan, ada urutan terkait dan sebaliknya. Jika {a_{n} adalah barisan yang ditinjau, maka barisan yang dibentuk oleh barisan tersebut dapat direpresentasikan sebagai:}

Jadi, dalam contoh di atas, deret yang terkait adalah 1+¹/₂+^{1 /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

Seperti namanya, deret pangkat adalah jenis deret khusus dan banyak digunakan dalam Analisis Numerik dan pemodelan matematika terkait. Deret Taylor adalah deret pangkat khusus yang menyediakan cara alternatif dan mudah dimanipulasi untuk merepresentasikan fungsi-fungsi terkenal.

Apa itu seri Daya?

Deret pangkat adalah deret dalam bentuk

yang konvergen (mungkin) untuk beberapa interval yang berpusat di c. Koefisien a_{ndapat berupa bilangan real atau kompleks, dan tidak bergantung pada x; yaitu variabel dummy.}

Misalnya dengan menetapkan a_n=1 untuk setiap n, dan c=0, deret pangkat 1+x+x² +…..+ x^{+… diperoleh. Sangat mudah untuk mengamati bahwa ketika x (-1, 1), deret pangkat ini konvergen ke 1/(1-x).}

Deret pangkat konvergen ketika x=c. Nilai lain dari x yang deret pangkatnya konvergen akan selalu berbentuk interval terbuka yang berpusat di c. Yaitu, akan ada nilai 0≤ R sedemikian rupa sehingga untuk setiap x yang memenuhi |x-c|≤ R, deret pangkatnya konvergen dan untuk setiap x yang memenuhi |x-c|> R, deret pangkatnya divergen. Nilai R ini disebut jari-jari konvergensi deret pangkat (R dapat mengambil nilai riil apa pun atau tak terhingga positif).

Deret pangkat dapat dijumlahkan, dikurang, dikalikan, dan dibagi menggunakan aturan berikut. Pertimbangkan dua seri daya:

Lalu,

yaitu suku-suku sejenis dijumlahkan atau dikurangkan. Juga, dimungkinkan untuk mengalikan dan membagi dua deret pangkat menggunakan identitas,

Apa itu deret Taylor?

Deret Taylor didefinisikan untuk fungsi f (x) yang terdiferensiasi tak terhingga pada suatu interval. Asumsikan f (x) terdiferensialkan pada interval yang berpusat di c. Kemudian deret pangkat yang diberikan oleh

disebut perluasan deret Taylor dari fungsi f (x) terhadap c. (Di sini f⁽ⁿ⁾ (c) menyatakan turunan ke-n ^{di x=c). Dalam Analisis Numerik, sejumlah suku terhingga dalam pemuaian tak hingga ini digunakan dalam menghitung nilai di titik-titik di mana deret tersebut konvergen dengan fungsi aslinya.}

A fungsi f (x) dikatakan analitik dalam interval (a, b), jika untuk setiap x (a, b), deret Taylor dari f (x) konvergen ke fungsi f (x). Misalnya, 1/(1-x) analitik pada (-1, 1), karena ekspansi Taylor-nya 1+x+x²+….+ x ^{+… konvergen ke fungsi pada interval tersebut, dan e}x ^{analitik di mana-mana, karena deret Taylor dari e}x ^{konvergen ke e} x ^{untuk setiap bilangan real x.}

Apa perbedaan deret Power dan deret Taylor?

1. Deret Taylor adalah kelas khusus dari deret pangkat yang didefinisikan hanya untuk fungsi-fungsi yang terdiferensiasi tak hingga pada beberapa interval terbuka.

2. Deret Taylor mengambil bentuk khusus

sedangkan, deret pangkat dapat berupa deret apa pun dalam bentuk