Ortogonal vs Ortonormal
Dalam matematika, dua kata ortogonal dan ortonormal sering digunakan bersama dengan himpunan vektor. Di sini, istilah 'vektor' digunakan dalam arti bahwa itu adalah elemen dari ruang vektor - struktur aljabar yang digunakan dalam aljabar linier. Untuk diskusi kita, kita akan mempertimbangkan ruang hasilkali-dalam – ruang vektor V bersama dengan hasilkali-dalam yang didefinisikan pada V.
Sebagai contoh, untuk produk dalam, ruang adalah himpunan semua vektor posisi 3 dimensi bersama dengan produk titik biasa.
Apa itu ortogonal?
Suatu himpunan bagian tak kosong S dari ruang hasilkali dalam V dikatakan ortogonal, jika dan hanya jika untuk setiap u, v dalam S, [u, v]=0; yaitu hasil kali dalam dari u dan v sama dengan skalar nol dalam ruang hasil kali dalam.
Misalnya, dalam himpunan semua vektor posisi 3 dimensi, ini setara dengan mengatakan bahwa, untuk setiap pasangan berbeda dari vektor posisi p dan q di S, p dan q saling tegak lurus. (Ingat bahwa hasil kali dalam dalam ruang vektor ini adalah hasil kali titik. Juga, hasil kali titik dari dua vektor sama dengan 0 jika dan hanya jika kedua vektor saling tegak lurus.)
Perhatikan himpunan S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, yang merupakan himpunan bagian dari vektor posisi 3 dimensi. Perhatikan bahwa (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0, 5)=0. Oleh karena itu, himpunan S ortogonal. Secara khusus, dua buah vektor dikatakan ortogonal jika hasilkali dalamnya adalah 0. Oleh karena itu, setiap pasangan vektor dalam Sis ortogonal.
Apa itu ortonormal?
A subset tak kosong S dari ruang hasilkali dalam V dikatakan ortonormal jika dan hanya jika S ortogonal dan untuk setiap vektor u dalam S, [u, u]=1. Oleh karena itu, dapat dilihat bahwa setiap himpunan ortonormal adalah ortogonal tetapi tidak sebaliknya.
Misalnya, dalam himpunan semua vektor posisi 3 dimensi, ini setara dengan mengatakan bahwa, untuk setiap pasangan berbeda dari vektor posisi p dan q di S, p dan q saling tegak lurus, dan untuk setiap p dalam S, |p|=1. Hal ini karena kondisi [p, p]=1 direduksi menjadi p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, yang ekuivalen dengan |p |=1. Oleh karena itu, diberikan himpunan ortogonal kita selalu dapat membentuk himpunan ortonormal yang sesuai dengan membagi setiap vektor dengan besarnya.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} adalah himpunan bagian ortonormal dari himpunan semua vektor posisi 3 dimensi. Sangat mudah untuk melihat bahwa itu diperoleh dengan membagi setiap vektor di himpunan S, dengan besarannya.
Apa perbedaan antara ortogonal dan ortonormal?
- Suatu bagian tak kosong S dari ruang hasilkali dalam V dikatakan ortogonal, jika dan hanya jika untuk setiap u, v yang berbeda dalam S, [u, v]=0. Akan tetapi, ortonormal, jika dan hanya jika kondisi tambahan – untuk setiap vektor u di S, [u, u]=1 terpenuhi.
- Setiap himpunan ortonormal adalah ortogonal tetapi tidak sebaliknya.
- Segala himpunan ortogonal berkorespondensi dengan satu himpunan ortonormal unik tetapi himpunan ortonormal dapat berkorespondensi dengan banyak himpunan ortogonal.
