Persamaan Diferensial Linier vs Nonlinier
Persamaan yang mengandung setidaknya satu koefisien diferensial atau turunan dari variabel yang tidak diketahui dikenal sebagai persamaan diferensial. Persamaan diferensial dapat berupa linear atau non-linier. Ruang lingkup artikel ini adalah untuk menjelaskan apa itu persamaan diferensial linier, apa itu persamaan diferensial nonlinier, dan apa perbedaan persamaan diferensial linier dan nonlinier.
Sejak perkembangan kalkulus pada abad ke-18 oleh para matematikawan seperti Newton dan Leibnitz, persamaan diferensial telah memainkan peran penting dalam sejarah matematika. Persamaan diferensial sangat penting dalam matematika karena jangkauan aplikasinya. Persamaan diferensial adalah inti dari setiap model yang kami kembangkan untuk menjelaskan skenario atau peristiwa apa pun di dunia apakah itu dalam fisika, teknik, kimia, statistik, analisis keuangan, atau biologi (daftarnya tidak ada habisnya). Faktanya, sampai kalkulus menjadi teori yang mapan, alat matematika yang tepat tidak tersedia untuk menganalisis masalah yang menarik di alam.
Persamaan yang dihasilkan dari aplikasi kalkulus tertentu mungkin sangat kompleks dan terkadang tidak dapat dipecahkan. Namun, ada beberapa yang bisa kita selesaikan, tetapi mungkin terlihat mirip dan membingungkan. Oleh karena itu, untuk memudahkan identifikasi persamaan diferensial dikategorikan berdasarkan perilaku matematisnya. Linier dan nonlinier adalah salah satu kategorisasi tersebut. Penting untuk mengidentifikasi perbedaan antara persamaan diferensial linier dan nonlinier.
Apa itu Persamaan Diferensial Linier?
Misalkan f: X→Y dan f(x)=y, suatu persamaan diferensial tanpa suku nonlinier dari fungsi y yang tidak diketahui dan turunannya dikenal sebagai persamaan diferensial linier.
Ini memberlakukan kondisi bahwa y tidak dapat memiliki suku indeks yang lebih tinggi seperti y2, y3, … dan kelipatan turunan seperti sebagai
Ini juga tidak boleh mengandung suku non linier seperti Sin y, e y ^-2, atau ln y. Itu mengambil bentuk,
di mana y dan g adalah fungsi dari x. Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial orde n, yang merupakan indeks dari turunan orde tertinggi.
Dalam persamaan diferensial linier, operator diferensial adalah operator linier dan solusinya membentuk ruang vektor. Sebagai hasil dari sifat linier dari himpunan solusi, kombinasi linier dari solusi juga merupakan solusi untuk persamaan diferensial. Artinya, jika y1 dan y2 adalah penyelesaian persamaan diferensial, maka C1 y 1+ C2 y2 juga merupakan solusi.
Linieritas persamaan hanya salah satu parameter klasifikasi, dan selanjutnya dapat dikategorikan ke dalam persamaan diferensial homogen atau non-homogen dan biasa atau parsial. Jika fungsinya adalah g=0 maka persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial homogen linier. Jika f adalah fungsi dari dua atau lebih variabel bebas (f: X, T→Y) dan f(x, t)=y, maka persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial parsial linier.
Metode penyelesaian persamaan diferensial bergantung pada jenis dan koefisien persamaan diferensial. Kasus termudah muncul ketika koefisien konstan. Contoh klasik untuk kasus ini adalah hukum kedua Newton tentang gerak dan berbagai aplikasinya. Hukum kedua Newton menghasilkan persamaan diferensial linier orde kedua dengan koefisien konstan.
Apa itu Persamaan Diferensial Nonlinier?
Persamaan yang mengandung suku nonlinier dikenal sebagai persamaan diferensial nonlinier.
Semua di atas adalah persamaan diferensial nonlinier. Persamaan diferensial nonlinier sulit untuk diselesaikan, oleh karena itu, studi yang cermat diperlukan untuk mendapatkan solusi yang tepat. Dalam kasus persamaan diferensial parsial, sebagian besar persamaan tidak memiliki solusi umum. Oleh karena itu, setiap persamaan harus diperlakukan secara independen.
Persamaan Navier-Stokes dan persamaan Euler dalam dinamika fluida, persamaan bidang relativitas umum Einstein adalah persamaan diferensial parsial nonlinier yang terkenal. Terkadang penerapan persamaan Lagrange ke sistem variabel dapat menghasilkan sistem persamaan diferensial parsial nonlinier.
Apa Perbedaan Persamaan Diferensial Linier dan Nonlinier?
• Persamaan diferensial, yang hanya memiliki suku-suku linier dari variabel yang tidak diketahui atau tergantung dan turunannya, dikenal sebagai persamaan diferensial linier. Tidak memiliki suku dengan variabel terikat indeks lebih tinggi dari 1 dan tidak mengandung kelipatan turunannya. Itu tidak dapat memiliki fungsi nonlinier seperti fungsi trigonometri, fungsi eksponensial, dan fungsi logaritma sehubungan dengan variabel dependen. Persamaan diferensial apa pun yang mengandung suku-suku tersebut di atas adalah persamaan diferensial nonlinier.
• Penyelesaian persamaan diferensial linier menciptakan ruang vektor dan operator diferensial juga merupakan operator linier dalam ruang vektor.
• Solusi persamaan diferensial linier relatif lebih mudah dan ada solusi umum. Untuk persamaan nonlinier, dalam banyak kasus, solusi umum tidak ada dan solusinya mungkin spesifik masalah. Hal ini membuat solusinya jauh lebih sulit daripada persamaan linier.
