Fungsi Diskrit vs Fungsi Kontinu
Fungsi adalah salah satu kelas objek matematika yang paling penting, yang banyak digunakan di hampir semua sub bidang matematika. Seperti namanya, fungsi diskrit dan fungsi kontinu adalah dua jenis fungsi khusus.
Fungsi adalah relasi antara dua himpunan yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga untuk setiap elemen di himpunan pertama, nilai yang berkorespondensi dengannya di himpunan kedua adalah unik. Misalkan f adalah fungsi yang didefinisikan dari himpunan A ke himpunan B. Kemudian untuk setiap x A, simbol f (x) menunjukkan nilai unik dalam himpunan B yang sesuai dengan x. Ini disebut bayangan x di bawah f. Oleh karena itu, relasi f dari A ke B adalah suatu fungsi, jika dan hanya jika untuk, masing-masing xϵ A dan y A; jika x=y maka f (x)=f (y). Himpunan A disebut domain dari fungsi f, dan merupakan himpunan di mana fungsi tersebut didefinisikan.
Misalnya, perhatikan relasi f dari R ke R yang didefinisikan oleh f (x)=x + 2 untuk setiap xϵ A. Ini adalah fungsi yang domainnya adalah R, karena untuk setiap bilangan real x dan y, x=y menyiratkan f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Tetapi relasi g dari N ke N didefinisikan oleh g (x)=a, dimana 'a' adalah faktor prima dari x bukan fungsi karena g (6)=3, serta g (6)=2.
Apa itu fungsi diskrit?
Fungsi diskrit adalah fungsi yang domainnya paling banyak dapat dihitung. Sederhananya, ini berarti memungkinkan untuk membuat daftar yang mencakup semua elemen domain.
Setiap himpunan berhingga paling banyak dapat dihitung. Himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan rasional adalah contoh untuk paling banyak himpunan tak terbatas yang dapat dihitung. Himpunan bilangan real dan himpunan bilangan irasional paling banyak tidak dapat dihitung. Kedua set tidak terhitung. Artinya tidak mungkin membuat daftar yang mencakup semua elemen dari himpunan tersebut.
Salah satu fungsi diskrit yang paling umum adalah fungsi faktorial. f:N U{0}→N didefinisikan secara rekursif oleh f (n)=n f (n-1) untuk setiap n 1 dan f (0)=1 disebut fungsi faktorial. Perhatikan bahwa domainnya N U{0} paling banyak dapat dihitung.
Apa itu fungsi kontinu?
Biarkan f menjadi fungsi sedemikian rupa sehingga untuk setiap k dalam domain f, f (x)→ f (k) sebagai x → k. Maka f adalah fungsi kontinu. Ini berarti bahwa f (x) dapat dibuat mendekati f (k) secara sembarang dengan membuat x cukup dekat dengan k untuk setiap k dalam domain f.
Perhatikan fungsi f (x)=x + 2 pada R. Dapat dilihat bahwa sebagai x → k, x + 2 → k + 2 yaitu f (x)→ f (k). Oleh karena itu, f adalah fungsi kontinu. Sekarang, pertimbangkan g pada bilangan real positif g (x)=1 jika x > 0 dan g (x)=0 jika x=0. Maka, fungsi ini bukan fungsi kontinu karena limit dari g (x) tidak ada (sehingga tidak sama dengan g (0)) karena x → 0.
Apa perbedaan antara fungsi diskrit dan kontinu?
• Fungsi diskrit adalah fungsi yang domainnya paling banyak dapat dihitung tetapi tidak perlu demikian dalam fungsi kontinu.
• Semua fungsi kontinu memiliki sifat bahwa (x)→ƒ(k) sebagai x → k untuk setiap x dan untuk setiap k dalam domain, tetapi tidak demikian pada beberapa fungsi diskrit.
