Riemann Integral vs Lebesgue Integral
Integrasi adalah topik utama dalam kalkulus. Dalam pengertian yang lebih luas, integrasi dapat dilihat sebagai proses kebalikan dari diferensiasi. Saat memodelkan masalah dunia nyata, mudah untuk menulis ekspresi yang melibatkan turunan. Dalam situasi seperti itu, operasi integrasi diperlukan untuk menemukan fungsi yang memberikan turunan tertentu.
Dari sudut lain, integrasi adalah proses, yang menjumlahkan produk dari fungsi (x) dan x, di mana x cenderung menjadi batas tertentu. Inilah sebabnya, kami menggunakan simbol integrasi sebagai. Simbol sebenarnya, apa yang kita peroleh dengan meregangkan huruf s untuk merujuk ke jumlah.
Riemann Integral
Pertimbangkan fungsi y=(x). Integral y antara a dan b, di mana a dan b merupakan himpunan x, ditulis sebagai b ∫ a ƒ(x) dx=[F (x)] a → b =F (b) – F (a). Ini disebut integral tertentu dari fungsi bernilai tunggal dan kontinu y=ƒ(x) antara a dan b. Ini memberikan area di bawah kurva antara a dan b. Ini juga disebut integral Riemann. Integral Riemann diciptakan oleh Bernhard Riemann. Integral Riemann dari fungsi kontinu didasarkan pada ukuran Jordan, oleh karena itu, ini juga didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann dari fungsi tersebut. Untuk fungsi bernilai nyata yang didefinisikan pada interval tertutup, integral Riemann dari fungsi terhadap partisi x1, x2, …, x n didefinisikan pada interval [a, b] dan t1, t2, …, t n, dimana xi ≤ ti ≤ xi+1 untuk setiap i {1, 2, …, n}, jumlah Riemann didefinisikan sebagai i=o hingga n-1 (ti)(xi+1 – xi).
Lebesgue Integral
Lebesgue adalah jenis integral lain, yang mencakup berbagai macam kasus daripada integral Riemann. Integral lebesgue diperkenalkan oleh Henri Lebesgue pada tahun 1902. Integrasi Legesgue dapat dianggap sebagai generalisasi dari integrasi Riemann.
Mengapa kita perlu mempelajari integral lain?
Mari kita perhatikan fungsi karakteristik A (x)={0 jika, x bukan A1 jika, x Apada himpunan A. Maka kombinasi linier hingga fungsi karakteristik, yang didefinisikan sebagai F (x)=ai ƒ E i(x) disebut fungsi sederhana jika E i dapat diukur untuk setiap i. Integral Lebesgue dari F (x) terhadap E dilambangkan dengan E∫ (x)dx. Fungsi F(x) tidak dapat diintegralkan Riemann. Oleh karena itu integral Lebesgue adalah pengulangan integral Riemann, yang memiliki beberapa batasan pada fungsi yang akan diintegralkan.
Apa perbedaan antara Integral Riemann dan Integral Lebesgue?
· Integral Lebesgue adalah bentuk generalisasi dari integral Riemann.
· Integral Lebesgue memungkinkan diskontinuitas tak terhingga yang dapat dihitung, sedangkan integral Riemann memungkinkan sejumlah diskontinuitas berhingga.
