Acara Saling Eksklusif vs Independen
Orang sering mengacaukan konsep peristiwa saling lepas dengan peristiwa independen. Sebenarnya, ini adalah dua hal yang berbeda.
Biarkan A dan B adalah dua kejadian apa pun yang terkait dengan eksperimen acak E. P(A) disebut “Probabilitas A”. Demikian pula, kita dapat mendefinisikan probabilitas B sebagai P(B), probabilitas A atau B sebagai P(A∪B), dan probabilitas A dan B sebagai P(A∩B). Kemudian, P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
Namun, dua peristiwa dikatakan saling lepas jika terjadinya satu peristiwa tidak mempengaruhi yang lain. Dengan kata lain, mereka tidak dapat terjadi secara bersamaan. Oleh karena itu, jika dua kejadian A dan B saling lepas maka A∩B=∅ dan karenanya, itu menyiratkan P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Biarkan A dan B adalah dua kejadian dalam ruang sampel S. Probabilitas bersyarat dari A, jika B telah terjadi, dilambangkan dengan P(A | B) dan didefinisikan sebagai; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), asalkan P(B)>0. (jika tidak, tidak ditentukan.)
Suatu kejadian A dikatakan bebas dari kejadian B, jika peluang terjadinya A tidak dipengaruhi oleh apakah B telah terjadi atau tidak. Dengan kata lain, hasil dari kejadian B tidak berpengaruh pada hasil dari kejadian A. Oleh karena itu, P(A | B)=P(A). Demikian pula, B tidak bergantung pada A jika P(B)=P(B | A). Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa jika A dan B adalah kejadian bebas, maka P(A∩B)=P(A). P(B)
Asumsikan bahwa sebuah kubus bernomor dilempar dan sebuah koin yang adil dibalik. Misalkan A kejadian muncul kepala dan B kejadian pelemparan bilangan genap. Kemudian kita dapat menyimpulkan bahwa kejadian A dan B saling bebas, karena hasil yang satu tidak mempengaruhi hasil yang lain. Oleh karena itu, P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Karena P(A∩B)≠0, A dan B tidak dapat saling lepas.
Misalkan sebuah guci berisi 7 kelereng putih dan 8 kelereng hitam. Tentukan kejadian A saat menggambar kelereng putih dan kejadian B saat menggambar kelereng hitam. Dengan asumsi setiap kelereng akan diganti setelah mencatat warnanya, maka P(A) dan P(B) akan selalu sama, tidak peduli berapa kali kita menggambar dari guci. Mengganti kelereng berarti probabilitas tidak berubah dari undian ke undian, tidak peduli warna apa yang kita pilih pada undian terakhir. Oleh karena itu, kejadian A dan B saling bebas.
Namun, jika kelereng diambil tanpa pengembalian, maka semuanya berubah. Berdasarkan asumsi ini, kejadian A dan B tidak bebas. Pengambilan kelereng putih pertama kali mengubah peluang terambilnya kelereng hitam pada pengambilan kedua dan seterusnya. Dengan kata lain, setiap undian memiliki efek pada undian berikutnya, sehingga undian individu tidak independen.
Perbedaan Antara Acara Saling Eksklusif dan Independen
– Mutual eksklusivitas peristiwa berarti tidak ada tumpang tindih antara himpunan A dan B. Independensi peristiwa berarti terjadinya A tidak mempengaruhi terjadinya B.
– Jika dua kejadian A dan B saling lepas, maka P(A∩B)=0.
– Jika dua kejadian A dan B saling bebas, maka P(A∩B)=P(A). P(B)
