Kardinal vs Ordinal
Dalam kehidupan kita sehari-hari, penggunaan angka dapat mengambil bentuk yang berbeda dalam situasi yang berbeda. Misalnya, ketika kita menghitung untuk mengetahui ukuran kumpulan benda, kita menghitungnya sebagai satu, dua, tiga, dan seterusnya. Ketika kita ingin menghitung sesuatu untuk mengetahui posisi objek, kita menghitungnya sebagai pertama, kedua, ketiga, dan seterusnya. Dalam bentuk penghitungan pertama, bilangan dikatakan sebagai bilangan kardinal. Dalam bentuk penghitungan kedua, bilangan dianggap sebagai bilangan urut. Dalam konteks ini, konsep kardinal dan ordinal sepenuhnya merupakan masalah linguistik; kardinal dan ordinal adalah kata sifat.
Namun, perluasan konsep ke himpunan dalam matematika mengungkapkan perspektif yang jauh lebih dalam dan lebih luas dan tidak dapat diperlakukan secara sederhana. Pada artikel ini, kita akan mencoba memahami konsep dasar bilangan kardinal dan bilangan urut dalam matematika.
Definisi formal bilangan kardinal dan ordinal disediakan dalam teori himpunan. Definisinya rumit dan untuk memahaminya dalam arti yang sempurna membutuhkan pengetahuan latar belakang dalam teori himpunan. Oleh karena itu, kita akan beralih ke beberapa contoh, untuk memahami konsep secara heuristik.
Pertimbangkan dua set {1, 3, 6, 4, 5, 2} dan {bus, mobil, feri, kereta api, pesawat terbang, helikopter}. Setiap himpunan mencantumkan himpunan elemen, dan jika kita hitung banyaknya elemen ternyata masing-masing memiliki jumlah elemen yang sama, yaitu 6. Sampai pada kesimpulan ini kita telah mengambil ukuran satu himpunan dan membandingkannya dengan yang lain menggunakan a nomor. Bilangan demikian disebut bilangan kardinal. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa bilangan kardinal adalah bilangan yang dapat kita gunakan untuk membandingkan ukuran himpunan hingga.
Sekali lagi, kumpulan angka pertama dapat diatur dalam urutan menaik dengan mempertimbangkan ukuran setiap elemen dan membandingkannya. Dalam proses pemesanan, nomor dianggap sebagai kardinal. Demikian juga, himpunan semua bilangan bulat nonnegatif dapat diurutkan dalam himpunan; yaitu {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Tetapi dalam kasus ini, ukuran himpunan menjadi tak terhingga, dan memberikannya dalam bentuk ordinal tidak mungkin. Tidak peduli seberapa besar angka yang Anda pilih untuk memberikan ukuran himpunan, masih akan ada angka yang tersisa dari himpunan yang Anda pilih dan yang merupakan bilangan bulat nonnegatif.
Oleh karena itu, matematikawan mendefinisikan kardinal tak terbatas ini (yang merupakan yang pertama) sebagai Aleph-0, ditulis sebagai (huruf pertama dalam alfabet Ibrani). Secara formal, nomor urut adalah jenis urutan dari himpunan yang tertata dengan baik. Oleh karena itu, jumlah ordinal dari himpunan hingga dapat diberikan oleh bilangan kardinal, tetapi untuk himpunan tak terbatas ordinal diberikan oleh bilangan transfinit seperti Aleph-0.
Apa perbedaan antara Bilangan Kardinal dan Bilangan Ordinal?
• Bilangan kardinal adalah bilangan yang dapat digunakan untuk menghitung, atau untuk memberikan ukuran suatu himpunan berhingga. Semua bilangan kardinal adalah ordinal.
• Bilangan urut adalah bilangan yang digunakan untuk memberikan ukuran himpunan terurut hingga dan tak hingga. Ukuran himpunan berhingga diberikan oleh bilangan aljabar Hindu-Arab biasa, dan ukuran himpunan tak hingga diberikan oleh bilangan transfinit.
