Perbedaan Integrasi dan Penjumlahan

2024 Pengarang: Alex Aldridge | [email protected]. Terakhir diubah: 2023-12-17 13:42

Integrasi vs Penjumlahan

Dalam matematika SMA di atas, integrasi dan penjumlahan sering ditemukan dalam operasi matematika. Mereka tampaknya digunakan sebagai alat yang berbeda dan dalam situasi yang berbeda, tetapi mereka memiliki hubungan yang sangat dekat.

Lebih lanjut tentang Penjumlahan

Penjumlahan adalah operasi penjumlahan barisan bilangan dan operasi ini sering dilambangkan dengan huruf Yunani kapital sigma. Digunakan untuk menyingkat penjumlahan dan sama dengan jumlah/total barisan. Mereka sering digunakan untuk mewakili seri, yang pada dasarnya adalah urutan tak terbatas yang diringkas. Mereka juga dapat digunakan untuk menunjukkan jumlah vektor, matriks, atau polinomial.

Penjumlahan biasanya dilakukan untuk rentang nilai yang dapat diwakili oleh suku umum, seperti deret yang memiliki suku umum. Titik awal dan titik akhir penjumlahan masing-masing dikenal sebagai batas bawah dan batas atas penjumlahan.

Misalnya jumlah barisan a₁, a₂, a₃, a 4_{, …, a}n _adalah1 _{+ a}2 _{+ a 3} + … + a_n yang dapat dengan mudah direpresentasikan menggunakan notasi penjumlahan sebagai ⁱ⁼¹ a_i; i disebut indeks penjumlahan.

Banyak variasi yang digunakan untuk penjumlahan berdasarkan aplikasi. Dalam beberapa kasus, batas atas dan batas bawah dapat diberikan sebagai interval atau rentang, seperti _1≤i≤100 a_i dan _{i∈[1, 100]} a_i Atau dapat diberikan sebagai kumpulan angka seperti _i∈Pai_{, di mana P adalah himpunan terdefinisi.}

Dalam beberapa kasus, dua atau lebih tanda sigma dapat digunakan, tetapi dapat digeneralisasi sebagai berikut; _j ∑_k a_jk =_{j, k} a jk.

Juga, penjumlahan mengikuti banyak aturan aljabar. Karena operasi yang disematkan adalah penjumlahan, banyak aturan umum aljabar dapat diterapkan pada jumlah itu sendiri dan untuk masing-masing suku yang digambarkan oleh penjumlahan.

Selengkapnya tentang Integrasi

Integrasi didefinisikan sebagai proses kebalikan dari diferensiasi. Tetapi dalam pandangan geometrisnya juga dapat dianggap sebagai area yang dibatasi oleh kurva fungsi dan sumbu. Oleh karena itu, perhitungan luas memberikan nilai integral tertentu seperti yang ditunjukkan pada diagram.

Sumber Gambar:

Nilai integral tertentu sebenarnya adalah jumlah garis-garis kecil di dalam kurva dan sumbu. Luas setiap strip adalah tinggi × lebar pada titik pada sumbu yang dipertimbangkan. Lebar adalah nilai yang dapat kita pilih, katakanlah x. Dan tinggi adalah kira-kira nilai fungsi pada titik yang dipertimbangkan, katakanlah f (x_{i). Dari diagram, terbukti bahwa semakin kecil strip, semakin baik strip tersebut masuk ke dalam area yang dibatasi, sehingga perkiraan nilainya lebih baik.}

Jadi, secara umum integral tentu I, antara titik a dan b (yaitu dalam interval [a, b] di mana a<b), dapat diberikan sebagai I f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + + f (x}n_{)∆x, di mana n adalah jumlah strip (n=(b-a)/∆x). Penjumlahan luas ini dapat dengan mudah direpresentasikan menggunakan notasi penjumlahan seperti I} i=1 _{f (x}i)∆x. Karena aproksimasi lebih baik ketika x lebih kecil, kita dapat menghitung nilainya ketika x→0. Oleh karena itu, masuk akal untuk mengatakan I=lim_∆x→0 ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Sebagai generalisasi dari konsep di atas, kita dapat memilih x berdasarkan interval yang dipertimbangkan yang diindeks oleh i (memilih lebar area berdasarkan posisinya). Kemudian kita mendapatkan

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Ini dikenal sebagai Integral Reimann dari fungsi f (x) dalam interval [a, b]. Dalam hal ini a dan b dikenal sebagai batas atas dan batas bawah integral. Integral Reimann adalah bentuk dasar dari semua metode integrasi.

Intinya, integrasi adalah penjumlahan luas persegi panjang yang lebarnya sangat kecil.

Apa perbedaan antara Integrasi dan Penjumlahan?

• Penjumlahan adalah penjumlahan dari suatu barisan bilangan. Biasanya, penjumlahan diberikan dalam bentuk ini _i=1 a_{i bila suku-suku dalam barisan memiliki pola dan dapat dinyatakan dengan istilah umum.}

• Integrasi pada dasarnya adalah luas yang dibatasi oleh kurva fungsi, sumbu dan batas atas dan bawah. Area ini dapat diberikan sebagai jumlah dari area yang jauh lebih kecil yang termasuk dalam area yang dibatasi.

• Penjumlahan melibatkan nilai diskrit dengan batas atas dan batas bawah, sedangkan integrasi melibatkan nilai kontinu.

• Integrasi dapat diartikan sebagai bentuk penjumlahan khusus.

• Dalam metode komputasi numerik, integrasi selalu dilakukan sebagai penjumlahan.