Distribusi Binomial vs Normal
Distribusi probabilitas variabel acak memainkan peran penting dalam bidang statistik. Dari distribusi probabilitas tersebut, distribusi binomial dan distribusi normal adalah dua yang paling sering terjadi dalam kehidupan nyata.
Apa itu distribusi binomial?
Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas yang bersesuaian dengan variabel acak X, yang merupakan jumlah sukses dari barisan berhingga dari eksperimen independen ya/tidak yang masing-masing memiliki probabilitas sukses p. Dari definisi X, terbukti bahwa itu adalah variabel acak diskrit; oleh karena itu, distribusi binomial juga diskrit.
Distribusi dilambangkan sebagai X ~ B (n, p) di mana n adalah jumlah percobaan dan p adalah probabilitas keberhasilan. Menurut teori probabilitas, kita dapat menyimpulkan bahwa B (n, p) mengikuti fungsi massa probabilitas [lateks] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/lateks]. Dari persamaan ini dapat disimpulkan lebih lanjut bahwa nilai harapan dari X, E(X)=np dan varians dari X, V(X)=np (1- p).
Misalnya, pertimbangkan eksperimen acak melempar koin 3 kali. Definisikan keberhasilan sebagai memperoleh H, kegagalan sebagai memperoleh T dan variabel acak X sebagai jumlah keberhasilan dalam percobaan. Kemudian X ~ B (3, 0,5) dan fungsi massa probabilitas X diberikan oleh [lateks] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0,5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/lateks]. Jadi, peluang diperolehnya paling sedikit 2 H adalah P(X 2)=P (X=2 atau X=3)=P (X=2) + P (X=3)=3 C2(0.52)(0.51) + 3 C3(0.53)(0.50)=0,375 + 0,125=0,5.
Apa itu distribusi normal?
Distribusi normal adalah distribusi probabilitas kontinu yang ditentukan oleh fungsi kepadatan probabilitas, [lateks] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]. Parameter [lateks] \mu dan \\sigma [/lateks] menunjukkan mean dan standar deviasi dari populasi yang diinginkan. Ketika [lateks] \mu=0 dan \\sigma=1 [/lateks] distribusinya disebut distribusi normal standar.
Distribusi ini disebut normal karena sebagian besar fenomena alam mengikuti distribusi normal. Misalnya IQ populasi manusia berdistribusi normal. Dilihat dari grafiknya unimodal, simetris terhadap mean dan berbentuk lonceng. Mean, modus, dan median bertepatan. Area di bawah kurva sesuai dengan bagian populasi, memenuhi kondisi tertentu.
Porsi populasi dalam interval [lateks] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/latex], [lateks] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/lateks], [lateks] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/lateks] kira-kira 68,2%, 95,6% dan 99,8% masing-masing.
Apa perbedaan antara Distribusi Binomial dan Distribusi Normal?
- Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskrit sedangkan distribusi normal adalah distribusi kontinu.
- Fungsi massa probabilitas dari distribusi binomial adalah [lateks]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], sedangkan fungsi kepadatan probabilitas dari distribusi normal adalah [lateks] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
- Distribusi binomial didekati dengan distribusi normal pada kondisi tertentu tetapi tidak sebaliknya.
