Asosiatif vs Komutatif
Dalam kehidupan kita sehari-hari, kita harus menggunakan angka kapan pun kita perlu mengukur sesuatu. Di toko kelontong, di pom bensin, dan bahkan di dapur, kita perlu menambah, mengurangi, dan mengalikan dua atau lebih jumlah. Dari latihan kami, kami melakukan perhitungan ini dengan cukup mudah. Kami tidak pernah memperhatikan atau mempertanyakan mengapa kami melakukan operasi ini dengan cara khusus ini. Atau mengapa perhitungan ini tidak dapat dilakukan dengan cara yang berbeda. Jawabannya tersembunyi dalam cara operasi ini didefinisikan dalam bidang matematika aljabar.
Dalam aljabar, operasi yang melibatkan dua kuantitas (seperti penambahan) didefinisikan sebagai operasi biner. Lebih tepatnya itu adalah operasi antara dua elemen dari suatu himpunan dan elemen-elemen ini disebut 'operan'. Banyak operasi dalam matematika termasuk operasi aritmatika yang disebutkan sebelumnya dan yang ditemui dalam teori himpunan, aljabar linier, dan logika matematika dapat didefinisikan sebagai operasi biner.
Ada seperangkat aturan yang berkaitan dengan operasi biner tertentu. Sifat asosiatif dan komutatif adalah dua sifat dasar dari operasi biner.
Selengkapnya tentang Sifat Komutatif
Misalkan beberapa operasi biner, dilambangkan dengan simbol, dilakukan pada elemen A dan B. Jika urutan operan tidak mempengaruhi hasil operasi, maka operasi tersebut dikatakan komutatif. yaitu jika A B=B A maka operasi tersebut komutatif.
Operasi aritmatika penjumlahan dan perkalian bersifat komutatif. Urutan angka yang dijumlahkan atau dikalikan tidak mempengaruhi jawaban akhir:
A + B=B + A 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A 4 × 5=5 × 4=20
Tetapi dalam kasus pembagian, perubahan urutan memberikan kebalikan dari yang lain, dan dalam pengurangan perubahan memberikan negatif dari yang lain. Oleh karena itu, A – B B – A 4 – 5=-1 dan 5 – 4=1
A B B ÷ A 4 5=0,8 dan 5 4=1,25 [dalam hal ini A, B 1 dan 0]
Faktanya, pengurangan dikatakan anti-komutatif; dimana A – B=– (B – A).
Juga, penghubung logis, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan padanan, juga komutatif. Fungsi kebenaran juga komutatif. Operasi himpunan serikat pekerja dan persimpangan adalah komutatif. Penjumlahan dan perkalian skalar dari vektor-vektor tersebut juga komutatif.
Tetapi pengurangan vektor dan perkalian vektor tidak komutatif (perkalian vektor dua vektor anti komutatif). Penjumlahan matriks bersifat komutatif, tetapi perkalian dan pengurangan tidak bersifat komutatif.(Perkalian dua matriks dapat bersifat komutatif dalam kasus-kasus khusus, seperti perkalian matriks dengan inversnya atau matriks identitasnya; tetapi pasti matriks tidak komutatif jika matriks tidak berukuran sama)
Lebih lanjut tentang Properti Asosiatif
Sebuah operasi biner dikatakan asosiatif jika urutan eksekusi tidak mempengaruhi hasil ketika dua atau lebih kemunculan operator hadir. Pertimbangkan elemen A, B dan C dan operasi biner. Operasi dikatakan asosiatif jika
A B C=A (B C)=(A B) C
Dari fungsi aritmatika dasar, hanya penjumlahan dan perkalian yang bersifat asosiatif.
A + (B + C)=(A + B) + C 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
Pengurangan dan pembagian tidak asosiatif;
A – (B – C) (A – B) – C 4 – (5 – 3)=2 dan (5 – 4) – 3=-2
A (B C) (A B) C 4 (5 3)=2,4 dan (5 4) 3=0,2666
Penghubung logis disjungsi, konjungsi, dan ekivalensi adalah asosiatif, seperti juga operasi himpunan serikat pekerja dan persimpangan. Penjumlahan matriks dan vektor bersifat asosiatif. Produk skalar dari vektor adalah asosiatif, tetapi produk vektor tidak. Perkalian matriks bersifat asosiatif hanya dalam keadaan khusus.
Apa perbedaan antara Sifat Komutatif dan Asosiatif?
• Baik sifat asosiatif maupun sifat komutatif adalah sifat khusus dari operasi biner, dan beberapa memenuhinya dan beberapa tidak.
• Sifat-sifat ini dapat dilihat dalam banyak bentuk operasi aljabar dan operasi biner lainnya dalam matematika, seperti persimpangan dan penyatuan dalam teori himpunan atau penghubung logis.
• Perbedaan antara komutatif dan asosiatif adalah bahwa sifat komutatif menyatakan bahwa urutan elemen tidak mengubah hasil akhir sedangkan sifat asosiatif menyatakan, bahwa urutan operasi yang dilakukan, tidak mempengaruhi jawaban akhir.
