Derivatif vs Diferensial
Dalam kalkulus diferensial, turunan dan diferensial dari suatu fungsi berhubungan erat tetapi memiliki arti yang sangat berbeda, dan digunakan untuk mewakili dua objek matematika penting yang terkait dengan fungsi yang dapat diturunkan.
Apa itu turunan?
Turunan dari suatu fungsi mengukur tingkat di mana nilai fungsi berubah saat inputnya berubah. Pada fungsi multivariabel, perubahan nilai fungsi bergantung pada arah perubahan nilai variabel bebas. Oleh karena itu, dalam kasus seperti itu, arah tertentu dipilih dan fungsi dibedakan dalam arah tertentu. Turunan itu disebut turunan terarah. Turunan parsial adalah jenis khusus dari turunan terarah.
Turunan dari fungsi bernilai vektor f dapat didefinisikan sebagai limit [lateks]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] di mana pun keberadaannya hingga batas tertentu. Seperti disebutkan sebelumnya, ini memberi kita laju peningkatan fungsi f sepanjang arah vektor u. Dalam kasus fungsi bernilai tunggal, ini direduksi menjadi definisi turunan yang terkenal, [lateks]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/lateks]
Misalnya, [lateks]f(x)=x^{3}+4x+5[/lateks] dapat diturunkan di mana-mana, dan turunannya sama dengan limitnya, [lateks]\\lim_{h \\ke 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/lateks], yaitu sama dengan [lateks]3x^{2}+4[/lateks]. Turunan fungsi seperti [lateks]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/lateks] ada di mana-mana. Masing-masing sama dengan fungsi [lateks]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/lateks].
Ini dikenal sebagai turunan pertama. Biasanya turunan pertama dari fungsi f dilambangkan dengan f (1) Sekarang dengan menggunakan notasi ini, dimungkinkan untuk mendefinisikan turunan orde yang lebih tinggi. [lateks]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\ke 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/lateks] adalah turunan arah orde kedua, dan menyatakan turunan ke-n dengan f (n) untuk setiap n, [lateks]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\ke 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/lateks], mendefinisikan turunan n th.
Apa itu diferensial?
Diferensial suatu fungsi menyatakan perubahan fungsi terhadap perubahan variabel atau variabel bebas. Dalam notasi biasa, untuk fungsi tertentu f dari variabel tunggal x, diferensial total orde 1 df diberikan oleh, [lateks]df=f^{1}(x)dx[/lateks]. Ini berarti bahwa untuk perubahan x yang sangat kecil (yaitu d x), akan ada perubahan f (1)(x)d x di f.
Menggunakan batasan seseorang dapat berakhir dengan definisi ini sebagai berikut. Asumsikan x adalah perubahan x pada sembarang titik x dan f adalah perubahan yang sesuai dalam fungsi f. Dapat ditunjukkan bahwa f=f (1)(x)∆ x +, di mana adalah galatnya. Sekarang, limit x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (menggunakan definisi turunan yang dinyatakan sebelumnya) dan dengan demikian, x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Oleh karena itu, dimungkinkan untuk simpulkan bahwa, x→ 0 ϵ=0. Sekarang, menyatakan x→ 0 f sebagai d f dan x→ 0 x sebagai d x definisi diferensial diperoleh secara ketat.
Misalnya, diferensial fungsi [lateks]f(x)=x^{3}+4x+5[/lateks] adalah [lateks](3x^{2}+4)dx[/lateks].
Dalam kasus fungsi dua variabel atau lebih, diferensial total suatu fungsi didefinisikan sebagai jumlah diferensial dalam arah masing-masing variabel bebas. Secara matematis, dapat dinyatakan sebagai [lateks]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/lateks].
Apa perbedaan antara turunan dan diferensial?
• Turunan mengacu pada laju perubahan suatu fungsi sedangkan diferensial mengacu pada perubahan fungsi yang sebenarnya, ketika variabel bebas dikenai perubahan.
• Turunannya diberikan oleh [lateks]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/lateks], tetapi diferensialnya diberikan oleh [lateks]df=f^{1}(x)dx[/lateks].
